Questa puntata è dedicata alla Teoria della Probabilità, quel ramo della Matematica che studia le leggi che governano il comportamento di fenomeni casuali, come il lancio di monete o di dadi. In questa prima parte, insieme a qualche accenno riguardo alla sua nascita nella forma classica nel XVII secolo grazie ai quesiti del Cavaliere de Méré, descriveremo le sue prime e più semplici leggi, che però già ci permetteranno di risolvere qualche curioso paradosso, come quello dei compleanni, o il famoso paradosso di Monty Hall. Poi, grazie anche al Calcolo Combinatorio, cominceremo ad indagare su quanto è rischioso giocare d’azzardo, confrontando le probabilità di vincita che si hanno scommettendo sull’esito del lancio di una moneta e quelle che si hanno giocando una sestina al superenalotto.

In questa puntata, la seconda dedicata alla Teoria della Probabilità, proseguiremo nello studio dei giochi d’azzardo e prendendo spunto dal gioco della roulette stabiliremo in modo preciso cosa vuol dire che un gioco è equo (per il giocatore). Ovviamente, scopriremo che, chi di più e chi molto di più, nessun gioco d’azzardo è equo. Usando poi la Legge dei Grandi Numeri, illustreremo anche come siano una bufala colossale le convinzioni di molti giocatori riguardo ai numeri ritardatari nel gioco del Lotto. Infine, racconteremo ancora un pochino di storia della Probabilità, con un cenno alla sua evoluzione dalla Teoria Classica alla Teoria Frequentista, a quella Assiomatica e a quella Soggettivista.

Questa puntata è dedicata alla Crittografia, l’insieme di tecniche e stratagemmi che consentono di cifrare un messaggio o, viceversa, decifrare un messaggio “in codice” (ma i matematici dicono “cifrato”). In questa prima parte partiremo dalle tecniche crittografiche più antiche e arriveremo fino al famoso Codice Enigma, mostrando quanta Matematica può essere usata per cifrare e decifrare messaggi. Racconteremo come, almeno fino alla prima metà del secolo scorso, ossia fino a quando è stata efficace la cosiddetta Crittografia Simmetrica, la lotta fra i crittografi che cifrano il messaggio e i crittoanalisti che cercano di decifrarlo sia sempre stata incentrata sulla conoscenza della chiave di cifratura, quel segreto che dovrebbe essere noto soltanto a mittente e destinatario del messaggio.

In questa puntata, la seconda dedicata alla Crittografia, racconteremo come, a partire dalla seconda metà del secolo scorso, le tecniche crittografiche abbiano avuto un’evoluzione rapidissima: a favore dei crittografi, grazie all’introduzione di cifrature basate sulle importanti scoperte fatte dai matematici sui numeri primi e le loro proprietà, mentre a favore dei crittoanalisti grazie all’introduzione dei moderni calcolatori elettronici, capaci di eseguire moltissimi calcoli matematici in tempi brevissimi. Illustreremo come, con le nuove tecniche matematiche, è cambiato il ruolo della chiave di cifratura, e sia così nata la cosiddetta Crittografia Asimmetrica, molto più sicura della Simmetrica in auge fino a metà del secolo scorso (ma ancora molto usata). Accenneremo anche alla tanto chiacchierata ma poco conosciuta congettura di Riemann e al suo ruolo nella sicurezza della Crittografia Asimmetrica. Infine descriveremo anche una tecnica crittografica tanto innovativa quanto discussa, la Crittografia Quantistica.

Questa puntata è dedicata a come i matematici affrontano e studiano il problema di sommare tra loro infinite quantità positive. Il problema è noto e studiato fin dall’Antica Grecia, tanto da aver dato origine ai famosi paradossi di Zenone e di Achille e la tartaruga: proprio a partire da questi due paradossi (che ormai non sono più tali visto che i matematici hanno chiarito completamente le risposte a tali problemi) e dalla metafora del vaso che trabocca, racconteremo il comportamento delle somme di infinite quantità positive, le cosiddette serie a termini positivi. Illustreremo come, se le quantità che sommiamo diventano rapidamente sempre più piccole, il vaso potrebbe non traboccare mai, ma anche come, indagando sul modo in cui le quantità possono diventare sempre più piccole, si possa arrivare a parlare della costante di Eulero-Mascheroni, e di una complicatissima questione ancora irrisolta della Matematica moderna.

In questa puntata descriveremo come la Matematica ha contribuito e contribuisce a studiare la Dinamica delle Popolazioni, la branca della Biologia che studia come evolve il numero di individui di una o più popolazioni che abitano o convivono in un ambiente limitato. Oltre ad illustrare uno storico problema matematico riguardante la riproduzione dei conigli, famoso per aver portato alla scoperta della rinomata successione di Fibonacci, descriveremo alcuni semplici modelli matematici di Dinamica delle Popolazioni: il modello di Malthus, che con la sua previsione di sovrappopolazione ritroviamo in tanti preoccupanti racconti e film di fantascienza, e il modello di Verhulst, che invece, anche in caso di risorse limitate dell’ambiente, prevede un futuro più rassicurante. Infine, prendendo spunto dall’esempio di un laghetto abitato da trote e pesci siluro, arriveremo ad illustrare sia le leggi matematiche che governano la convivenza di più popolazioni nello stesso ambiente, come nel modello preda-predatore, sia quelle alla base del funzionamento delle classi di merito nelle polizze assicurative Bonus-Malus.

In questa puntata descriveremo come un’operazione apparentemente molto semplice come quella di spostare un oggetto senza farlo ruotare rispetto all’ambiente circostante nasconda complicazioni sorprendenti. Infatti, tutti sappiamo spostare un quadro su una parete mantenendolo bene in squadra con la verticale o camminare su un campo di calcio con lo sguardo sempre rivolto alla porta avversaria, ma le stesse due azioni si rivelano molto più problematiche quando ci muoviamo su una superficie curva, come la sfera del nostro pianeta o una pista da sci con i suoi avvallamenti e dossi. Racconteremo poi come lo studio della regola che governa il modo di trasportare parallelamente gli oggetti abbia contribuito a rendere ancora più bella “la più bella delle teorie fisiche”, la Teoria della Relatività Generale di Einstein, e anche come tale regola sia stata scoperta da un grande matematico italiano, Tullio Levi Civita, la cui storia personale non deve lasciarci indifferenti.

Questa puntata è dedicata ad un problema matematico che ci è giunto da un’antica leggenda riguardante Didone, regina di Cartagine: come circondare con una corda di lunghezza fissata un appezzamento di terra che sia il più ampio possibile. Se, da un lato, la risposta al problema è nota fin dai tempi di Didone stessa, la dimostrazione matematica dell’esattezza della risposta ha richiesto più di 2000 anni di studio dei matematici, perché le figure geometriche che possiamo disegnare conoscendone solo il perimetro, ossia la lunghezza della corda che abbiamo a disposizione, sono infinite e molto varie. Prendendo spunto dai passi di una coppia di ballerini che danzano in una sala, descriveremo alcune idee, lo specchiamento e la simmetrizzazione, che nel corso dei secoli ci hanno avvicinato a quella che è la soluzione del "problema isoperimetrico": il cerchio. Racconteremo poi come solo da metà del secolo scorso, grazie alle idee di un grande matematico italiano, Ennio De Giorgi, il problema di Didone si possa considerare come definitivamente risolto.

In questa puntata descriveremo come il concetto di numero, a dispetto della naturalezza con cui usiamo quotidianamente i numeri e le loro proprietà, sia molto raffinato e coinvolga ragionamenti matematici molto sottili, che affondano le loro radici nei fondamenti logici della Matematica stessa. Prendendo spunto dalla Geometria e dal concetto ben noto di direzione, descriveremo le relazioni di equivalenza tra gli elementi di un insieme e cosa sia una classe di equivalenza. Utilizzeremo poi proprio una semplice relazione di equivalenza per descrivere cosa hanno in comune le dita di una mano, le vocali dell’alfabeto e i vertici della piramide di Giza. La linea del medesimo ragionamento ci porterà a dire cosa è un numero intero e positivo qualunque, ossia ciò che i matematici chiamano un numero naturale. Infine, racconteremo come i numeri naturali lo siano talmente tanto che sono noti non solo alle tribù primitive, ma anche agli animali…almeno in piccolissima parte.

Questa puntata è dedicata al numero più importante, ma anche il più bistrattato di tutti: lo zero. Lungi dall’essere un numero che non conta nulla, la scoperta dello zero e delle sue proprietà ha costituito un vero punto di svolta per la Matematica nella cultura occidentale, anche per le implicazioni filosofiche che lo zero - e il suo astratto reciproco, l’infinito - hanno sempre avuto fin dai tempi degli Antichi Greci. Descriveremo parte della sua storia, che comincia nell’India del 600 d.C. e racconteremo del suo arrivo in Europa passando dal vicino Oriente, grazie prima ai grandi matematici arabi e poi al famoso matematico Leonardo Pisano, detto Fibonacci. Scopriremo come lo zero sia il mattone fondamentale per costruire tutti i numeri naturali, con un metodo che sembra preso a piè pari dalla filosofia taoista. Descriveremo infine come lo zero sia alla radice del concetto matematico di gruppo, un’idea fondamentale nella Matematica moderna che trova applicazione sul quadrante dell’orologio come dal gommista, in fabbrica come nel risolvere il cubo di Rubik.

In questa puntata descriveremo come noi rappresentiamo visivamente i numeri, ossia quali sono e quali idee sono alla base dei simboli grafici che vengono usati per comunicare ed operare sui numeri. Così come culture diverse e lontane tra loro hanno sviluppato alfabeti e lingue diverse per le loro necessità di comunicazione orale e scritta, lo stesso è successo riguardo alla scrittura dei numeri. Racconteremo la storia, le proprietà e l’evoluzione degli “alfabeti” che ci consentono di scrivere i numeri. Partendo dai simboli cuneiformi delle civiltà mesopotamiche, passando per le lettere usate degli Antichi Greci e Romani e i punti e le linee usati dai Maya, arriveremo a quei simboli grafici, inventati dagli Indiani e giunti a noi grazie agli Arabi, che oggi noi usiamo comunemente: le cifre arabe e la numerazione decimale. Soprattutto, vedremo come la notazione posizionale, scoperta da Babilonesi e Maya, usata da Indiani e Arabi, ma ignorata da Greci e Romani, ossia quel modo di scrivere i numeri dove una cifra conta non solo per quella che è, ma anche per la posizione che occupa, abbia aperto la via all’utilizzo della numerazione binaria che usa solo due cifre, lo 0 e l’1, numerazione non solo usata da tutti i nostri calcolatori, ma che ci permette di arrivare a contare sulle dita delle nostre mani fino a 1023.

Questa puntata è dedicata ai vari tipi di numero che, nel corso della storia e dello sviluppo della Matematica, i matematici (ma non solo loro) hanno introdotto per studiare e, a volte, risolvere i problemi che la quotidianità ci sottopone. Indirizzati dalle parole che lo scrittore Peter Hoeg fa dire alla protagonista del suo romanzo “Il senso di Smilla per la neve”, partiremo dai numeri naturali, i numeri interi e positivi che soddisfano la nostra esigenza di contare e di cui parliamo più diffusamente nella puntata n. 9 e, grazie allo zero, di cui parliamo nella puntata n. 10, approderemo presto ai numeri negativi, anch’essi come lo zero utilissimi per i commercianti ma anch’essi a lungo maltrattati dalla civiltà occidentale. La necessità quotidiana di dividere quantità intere ci fa scoprire le frazioni, o numeri razionali, che per Pitagora e la sua scuola erano il mattone con cui è costruito l’intero universo. Racconteremo come, secondo la leggenda, Pitagora stesso sembrò trovare conferma della sua convinzione nell’armonia della musica, dove sorprendentemente le frazioni trovano una delle loro più belle applicazioni, ma con l’aiuto dei matematici scopriremo dove Pitagora si sbagliava, ingannato dal suo stesso orecchio.

In questa puntata, la seconda dedicata ai vari tipi di numero, ripartiremo dai numeri razionali per scoprire i numeri irrazionali, raccontando di come Pitagora venne tradito dal suo stesso teorema. Scopriremo che non solo i numeri irrazionali, come ad esempio il famoso π ci circondano insieme a tutti gli altri numeri, ma anche che sanno esprimere meglio di tutti l’armonia delle misure, nelle forme naturali come negli edifici, e che proprio per questo si ritrovano nella Pittura, nella Scultura e nell’Architettura. E anche nella Musica, perché senza i numeri irrazionali non sapremmo accordare un pianoforte. Racconteremo poi come l’unione di tutti i numeri razionali e irrazionali crei un collegamento solidissimo con la Geometria, collegamento che è stato ed è foriero di progressi enormi nella Matematica moderna. Infine, passando per i numeri complessi, sfioreremo l’astrazione estrema dei quaternioni, senza andare oltre, anche se un oltre, i matematici lo sanno, c’è.